<t->
          Tudo  Matemtica
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Roberto Dante

          Impresso Braille em
          9 partes, na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 3 edio, 1 impresso,
          So Paulo, 2011, 
          Editora tica

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Gerente Editorial
          Mrcia Takeuchi

          Editora 
          Crmen Slvia Rela 
          Matricardi

          Editoras de Texto 
          Ldia La Mark
          Snia Scoss Nicolai
 
          Assessoria Didtica
          Clodoaldo Pereira Leite
          
          ISBN 978-85-08-12485-5

          2011
          Todos os direitos reservados 
          pela Editora tica S.A.
          Av. Otaviano Alves de Lima, 
          4.400 -- 5 andar e andar 
          intermedirio Ala A Freguesia do  -- CEP 02909-900 -- 
          So Paulo -- SP
          Tel.: 0800-115152 
          Fax: (11) 3990-1616
          ~,www.atica.com.br~,
          ~,editora@atica.com.br~,
<P>           
                                I
Sumrio

Quinta Parte

Captulo 7

ngulos e tringulos ::::::: 455
  
1. ngulos opostos pelo 
  vrtice ::::::::::::::::::: 458 
ngulos formados por duas 
  retas concorrentes :::::::: 462 

2. ngulos formados por 
  retas paralelas cortadas  
  por uma reta 
  transversal ::::::::::::::: 465  

3. Soma das medidas dos 
  ngulos internos de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 473 

4. Polgonos :::::::::::::: 482  
Polgonos convexos e 
  polgonos no convexos :::: 482 
Elementos de um polgono 
  convexo ::::::::::::::::::: 484  
<p>
Nome dos polgonos quanto ao 
  nmero de lados ::::::::::: 487 
Polgonos regulares :::::::: 490 
Soma das medidas dos ngulos 
  internos de um polgono 
  convexo Si :::::::::::: 492 
Soma das medidas dos ngulos 
  externos de um polgono 
  convexo Se :::::::::::: 494 
ngulos internos e ngulos 
  externos de polgonos 
  regulares ::::::::::::::::: 498
Retomando o nmero de 
  diagonais de um polgono 
  convexo ::::::::::::::::::: 506 

5. Ampliando o estudo dos 
  tringulos :::::::::::::::: 510  
Caractersticas de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 510  
Elementos de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 512 
Condio de existncia de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 515 
Desigualdade triangular :::: 516 
<P>           
                             III
Relaes envolvendo as 
  medidas dos ngulos e dos 
  lados de um tringulo ::::: 520 
Outra relao entre lados e 
  ngulos de um tringulo ::: 523  

6. Figuras congruentes :::: 526 
Congruncia de 
  tringulos :::::::::::::::: 528  
Casos de congruncia de 
  tringulos :::::::::::::::: 532 
Uma aplicao dos casos de 
  congruncia de 
  tringulos :::::::::::::::: 546  

7. Mediana, bissetriz e 
  altura de um tringulo :::: 551
Mediana de um tringulo :::: 551 
Bissetriz de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 553   
Altura de um tringulo ::::: 555  
Pontos notveis de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 559  
Ortocentro de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 560 
Incentro de um tringulo ::: 562
<p>
Baricentro de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 564
Circuncentro de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 570

Reviso cumulativa ::::::::: 577  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 585

<154>
<Ttudo  mat. 8 ano>
<t+455>
Captulo 7 

<R+>
ngulos e tringulos 

J vimos que a soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo  igual a 180. Como podemos demonstrar isso, provar que  verdade? 
<R->

  Voc j deve ter observado como ngulos e tringulos fazem parte do nosso cotidiano. Mas no  por acaso: a preciso das medidas dos ngulos e as propriedades dos tringulos garantem funcionalidade, segurana e praticidade e fazem com que sejam usados desde a Antiguidade. 

<R+>
<F->
_`[{quatro fotos adaptadas_`]
Foto 1: um barco com uma vela triangular. 
Foto 2: uma escultura "O menino da porteira", onde a porteira  
<p>
  construda por um retngulo e uma diagonal, formando dois tringulos.
Foto 3: um prdio "Hearst Tower em Nova York" com vidraas triangulares.
Foto 4: um menino segurando uma pipa triangular.
<F+>
<R->

<155>
  Vamos recordar o que j estudamos de forma concreta, experimental, sobre a soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo. 
  Acompanhe as figuras. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

<F->
                    
             :C.a
               .a     
             .a
           .a
    :B .a:A
::::::::a::::::::::::::

Constatao: m:A+m:B+
  +m:C=180 
<F+>
<p>
  Desse modo constatamos uma importante propriedade dos tringulos. 
  Mas, se quisermos demonstrar, provar logicamente essa ou outra propriedade que constatamos de modo experimental, devemos recorrer  geometria dedutiva. 
  Foi o matemtico grego Euclides (cerca de 330 a.C.-260 a.C.) quem primeiro organizou e sistematizou logicamente todos os estudos de geometria at ento conhecidos, reunindo-os numa obra de treze volumes chamada *Os Elementos*. 
  H poucas informaes sobre a vida de Euclides. Sabe-se que foi chamado para ensinar Matemtica na escola criada por 
 Ptolomeu Soter (306 a.C.-283 a.C.), em Alexandria, mais conhecida como Museu, onde se tornou seu primeiro diretor. 
<p>
<R+>
Neste captulo vamos estudar a geometria dedutiva, demonstrando (provando logicamente) algumas propriedades das figuras geomtricas (ngulos, tringulos e outros polgonos) a partir de definies e de outras propriedades aceitas como verdadeiras. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<156> 
1. ngulos opostos pelo vrtice 

  O professor Lus desafiou os alunos: Como so as medidas de dois ngulos opostos pelo vrtice? 
  Ele desenhou na lousa dois ngulos opv (opostos pelo vrtice) e ficou aguardando a resposta da turma. 

<R+>
<F->
    a.       .a
      a.   .a
    :a a.a :b
       .a a.
     .a     a.
   .a         a.
<p>
:a e :b so ngulos opv (opostos pelo vrtice)
<F+>
<R->

  Renato, usando o mtodo experimental, desenhou em uma folha de papel sulfite duas retas concorrentes, marcou nela dois ngulos opostos pelo vrtice e, em seguida, dobrou-a, fazendo coincidir as duas partes. 

_`[{renato diz_`]
  "J sei! Claro que  isto! So iguais!"  

  Luci usou o transferidor para medir os ngulos opostos pelo vrtice que traou no caderno. 

<F->
    a.       .a
      a.   .a
   50 a.a 50
       .a a.
     .a     a.
   .a         a.
<F+>
<p>
_`[{luci diz_`]
  "Mas que incrvel! So iguaizinhos!" 

  Renato e Luci usaram processos diferentes, mas chegaram  mesma concluso: 

<R+>
Dois ngulos opostos pelo vrtice tm a mesma medida. 
<R->

  O professor Lus elogiou os dois, mas fez uma advertncia. 

_`[{o professor diz_`]
  "Muito bem! Vocs esto certos. Mas ateno: vale para um exemplo, vale para outro, mas com isso s podemos fazer uma *conjectura*, isto , uma suposio. Fazendo a demonstrao, a prova,  que podemos garantir que seja verdade para todos os ngulos opostos pelo vrtice". 

<157> 
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Veja a demonstrao dessa importante propriedade. A partir 
 de afirmaes verdadeiras e usando raciocnio lgico, conclumos que uma outra afirmao  verdadeira."

<R+>
<F->
    a.       .a
      a.:a.a
        a.a:x
       .a a. 
     .a :b a.
   .a         a.

Demonstrao: 
Queremos demonstrar que a=b. Vemos que: a+x=180 e b+x=180.
Dessas duas igualdades podemos tirar outra: a+x=b+x 
Subtraindo x dos dois membros, temos: 
a+x-x=b+x-x 
a+0=b+0 
a=b 
ou seja, demonstramos que dois ngulos opostos pelo vrtice so 
<p>
  sempre congruentes (medidas iguais).

ngulos formados por duas retas 
  concorrentes 

  a.           .ar
    a.       .a
      a.:b.a
     :aa.a:c
       .a a.
     .a :d a.
   .a         a.
 .a             a.s

 r e s so duas retas concorrentes que determinam os ngulos :a, :b, :c e :d, de medidas a, b, c e d, respectivamente.
 :a e :b so ngulos adjacentes e suplementares a+b=180. 
 :a e :c so ngulos opostos pelo vrtice a=c. 

Atividades  

1. Examine a figura anterior e faa o que se pede: 
<p>
a) Indique outros pares de ngulos adjacentes suplementares que aparecem na figura. 
b) Encontre outro par de ngulos opostos pelo vrtice. 
c) Se a=32, determine as medidas de b, c e d. 

2. Calcule as medidas de :?{p{o{q* e :?{r{o{q* sabendo que :?{r{o{q* mede o dobro de :?{p{o{q*. 

          
           oQ
            
             
 <::o::::::::e:::::o:::>
    P        O    R

3. Duas retas, r e s, so concorrentes e determinam quatro ngulos de medidas iguais. Nesse caso: 
<p>
a) Qual  a medida de cada um desses ngulos?  
b) Que nome podemos dar s retas, uma em relao  outra?  
c) Faa um desenho de duas retas r e s nessas condies. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
4. Determine as medidas dos ngulos assinalados na figura a seguir.
<R->

<F->
  a.           .a
    a.  4x  .a
      a.   .a
        a.a 
       .a a.
     .a     a.
   .a x+120 a.
 .a             a.
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<158>
<p>
<R+>
2. ngulos formados por retas 
  paralelas cortadas por uma reta 
  transversal 
<R->

  Na aula seguinte, o professor Lus desenhou na lousa trs retas e assinalou os ngulos formados por elas. E explicou: 
  As retas r e s so paralelas: esto no mesmo plano e no tm ponto comum r_ls. A reta t, chamada transversal, determina quatro ngulos com r e quatro ngulos com s.  

<F->
     e
      e
   :a e :b
:::::::e::::::::::::::o       
r    :d e :c
          e
       :e e :f
:::::::::::e::::::::::o
s        :h e :g
              e
               e t
<F+>
<p>
  A reta transversal t forma oito ngulos com as retas r e s. 
  Em alguns casos, considerando as posies relativas, damos nomes a esses ngulos quando tomados dois a dois. Analise os nomes e o que acontece com as medidas: 

<R+>
<F->
:a e :e; :b e :f; :c e :g; :d e :h: ngulos correspondentes a=e; b=f; c=g; d=h 
:a e :h; :b e :g: ngulos colaterais externos a+h=180; b+g=180 
:a e :g; :b e :h: ngulos alternos externos a=g; b=h
:c e :e; :d e :f: ngulos alternos internos c=e; d=f 
:c e :f; :d e :e: ngulos colaterais internos c+f=180; d+e=180 

Atividades 
 
5. Atividade em equipe 
<F+>
<R->
  Converse com seus colegas e procurem justificar os nomes usados para relacionar os ngulos. 
<p>
<R+>
6. Use rgua e transferidor e desenhe no caderno duas retas paralelas cortadas por uma transversal em que um dos ngulos formados tenha 50. Depois, mea os demais ngulos e verifique as suas medidas. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
7. Sendo r_ls, determine, em graus, o valor de cada uma das medidas dos ngulos assinalados. 
a)
               i t
              i
             i
r::::::::::i::::::::::::o
  2x-30 i
          i
         i x+15
s::::::i::::::::::::::::o
       i
      i
     i
<p>
b) t e
       e
        e 4x-20
r:::::::e::::::::::::::o      
          e  
           e
            e  
s:::::::::::e::::::::::o
     3x+20 e  
               e
                e
<F+>
<R->

<159>
<R+>
<F->
8. Considerando r_ls, determine, em graus, o valor de cada uma das medidas dos ngulos assinalados. 
a)           t e
                 e
    a=x~2+x~3 e  
r:::::::::::::::::e:::::::::o      
                    e  
                     e  
s::::::::::::::::::::e::::::o
         b=x~2+140 e  
                        e
                         e
<p> 
b)
               i t
              i
             i
r::::::::::i::::::::::::o
           i 2x
          i
         i x
s::::::i::::::::::::::::o
       i
      i
     i
                       
9. Sabendo que r_ls, calcule o valor de x, em graus: 
a)   t
      e
       e
  x+5 e
r:::::::e::::::::::::::o      
          e  
           e  
s::::::::::e:::::::::::o
             e x~2+30 
              e
               e
<p>
b)
r:::::::::::,:::::::::::::o
       40 i
           i 
          i
         i x
         e
          e
           e
       70 e
s:::::::::::e:::::::::::::o

10. Determine, em graus, as medidas x, y, w e z dos ngulos: 
a) r_lt
r:::::::,:::::::::::::::o
          e 35
           e 
            e
           x e 
             i
            i
           i
          i 55
t:::::::i::::::::::::::::o
<p>
b) r_ls e s_lt

     v             u
     e            i
      e          i
  65 e        i 70
r::::::e::::::i:::::::::::o
         e    i
          e xi
s:::::::::ei::::::::::::::o
           ie
          iy e w
t:::::::i::::e::::::::::::o
      z i      e 
       i        e

11. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam oito ngulos. Um deles mede 45. Quais so as medidas dos outros sete?  
12. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ngulos colaterais externos cu-
<p>
  jas medidas, em graus, so dadas por x e 2x+30. Calcule a medida desses ngulos. 
13. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ngulos alternos internos cujas medidas, em graus, so dadas por 3x-20 e 2x+40. Determine a medida desses ngulos. 
14. Existe um caso em que duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam oito ngulos de mesma medida. Descreva quando isso acontece, faa uma figura para ilustrar e escreva qual  a medida de cada um dos ngulos. Troque ideias com seus colegas e comparem suas respostas. 
15. Na figura a seguir, a e b so retas paralelas cortadas pela transversal r. Calcule as medidas de :x e :y sabendo que a diferena entre elas  de 64.  
<p>
   r   a   b 
  e:y_   l
   e  _   l
    e _   l
     e_   l
      _e  l
      _  el:x
      _   le
      _   l e 
      _   l  e  

<F+>
<R->
               ::::::::::::::::::::::::

<160>
<R+>
3. Soma das medidas dos ngulos 
  internos de um tringulo 
<R->
 
  Voc j constatou experimentalmente que m:A+m:B+m:C=
 =180. 

<F->                   
       B
       e'
         e'
           e'
             e'
   ------------u
   C           A
<F+>

  Veja agora como podemos demonstrar essa propriedade para todos os tringulos. 
  Consideremos um tringulo {a{b{c qualquer. Pelo ponto A podemos sempre traar uma nica reta r paralela ao lado ^c?{b{c* (verdade aceita sem demonstrao), obtendo :x, :y, :z tal que x+y+z=180. 
  Podemos notar que:

<F->
          A
r::::::::e:::::::::::::::::::o
     :y    e :z
         :x  e
                e
                  e
                    e
                      e
                        e
  j:::::::::::::::::::::::h    
  B                      C
<F+>

<R+>
<F->
 x  a medida de :A m:A; 
 y  a medida de :B m:B, pois :y e :{b so ngulos al
<p>
  ternos internos, e a reta r  paralela  reta ~:,?{b{c*; 
 z  a medida de :C m:C, pois as retas r e ~:,?{b{c* so paralelas, e :z e :{c so ngulos alternos internos. 
<F+>
<R->
  Se x+y+z=180, ento podemos concluir que m:A+m:B+
 +mC=180. 
  Dessa forma, est demonstrada a propriedade: 

<R+>
<F->
Em todo tringulo, a soma das medidas dos trs ngulos internos  igual a 180. 

Atividades 

16. Com base no que voc acabou de ver, responda: 
a) Se o tringulo {a{b{c tem :A de 47 e :B de 103, qual  a medida do :C?  
b) Se os trs ngulos internos de um tringulo so congruentes (de medidas iguais), qual  a medida de cada um? 
<p>
17. Em um tringulo {e{f{g, o ngulo :E mede 40 a mais do que o ngulo :F, e o ngulo :G mede o dobro de :{e. Calcule as medidas de :E, :F e :G. 
18.  possvel desenhar um tringulo cujos ngulos internos medem 90, 50 e 60? Justifique sua resposta. 
 
19. Um tringulo pode ter: 
a) dois ngulos internos retos? Por qu? 
b) um ngulo interno agudo, um obtuso e um reto? Por qu? 
<F+>
<R->

<161> 
<R+>
<F->
20. Quais so os possveis tipos de tringulo quanto aos ngulos? Escreva o nome de cada um, como so seus ngulos e d um exemplo. 
21. Uma corda foi esticada do topo deste prdio at o cho. O ngulo determinado no cho pode ser medido: 62. Qual  a medida do ngulo no topo desse prdio?  
<p>
_`[{figura adaptada_`]

pcccccccce
l        _ e
l prdio _  e
l        _...e
l        _    e
l        _     e
l        _      e
l        _::    e
l        __-_ 62e
h::::::::j::j::::::h

22. Determine o valor de x, em graus, em cada um dos tringulos: 
a)      A
         
          
       50
            
             
              
               
   60       x   
 j::::::::::::::::h
 C               B        
<p>
b)                P
                   ie
                 i x e
               i      e
             i         e
           i            e
         i               e
       i                  e
    Rj::::::::::::::::::::hQ
    i 160            140e
  i                          e
i                             e   

c)               A 
                  i_
                i x_
              i    _
            i      _
          i        _
        i          _
      i         +::w
    i 35      l_-_
  j:::::::::::::h::j
  C               B
<p>
d)
            80
            e  
             e
             e
               e
                 e
                   e
                     e
                       e
                         e
110                    x e
----------------------------o    

23. Determine o valor de x, em graus, e calcule as medidas dos ngulos internos desconhecidos: 
a)
         e
           e 
        40 e
               e
                 e
                   e
   60              e x
  j::::::::::::::::::::h::::   
<p>                         
b)            ie
             i x e
           i      e
         i         e
       i            e
     i               e
   i 45             e 130
 j:::::::::::::::::::::h::::::

c)         
             
          35
               
                
                 
                  
110               x 
::::j::::::::::::::::h::::

d)
e
l  e
l2x e
l      e
l        e
r::       e
l_-_     3x e
v--#----------o
<p>
24. Clculo mental 
<F+>
<R->
  Determine, mentalmente, a medida, em graus, de cada ngulo assinalado: 
<F->
a)
        
       x 
          
           
            
             
   60  60  y 
 j::::::::::::::h:::

b)
            
           
           x
         e
           e 
             e
               e
                 e
     y        40 e
   j:::::::::::::::::h
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<162> 
4. Polgonos 

  Voc j sabe: polgono (poli = muitos; gono = ngulo)  uma linha fechada formada apenas por segmentos de reta do mesmo plano que no se cruzam. 

<R+>
Polgonos convexos e polgonos 
  no convexos 
<R->

  O polgono {a{b{c{d{e  convexo e o polgono {p{q{r{s{t  no convexo. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Por que o polgono {a{b{c{d{e  convexo? 
  Se tomarmos quaisquer dois pontos X e Y na regio limitada pelo polgono {a{b{c{d{e, o segmento de reta que os une sempre estar inteiramente contido nessa regio. J no polgono {p{q{r{s{t isso 
 no ocorre sempre:  possvel encontrar dois pontos (M e N) 
 tal que o segmento de reta 
<p>
 ^c?{m{n* no esteja inteiramente contido na regio limitada por 
 esse polgono. Por isso, ele  chamado de polgono no convexo. 
<R+>
<F->
Observao: A partir de agora, quando no explicitarmos o tipo de polgono, estaremos considerando que o polgono citado  convexo. 

Atividades  

_`[{para as atividades de 25 a 27, pea orientao ao professor_`]

25. Quais das figuras a seguir so polgonos? Esboce seus desenhos no caderno. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

26. Escreva no caderno sim se o polgono for convexo e no se o polgono no for convexo: 

_`[{figuras no adaptadas_`]
<p>
27. Desenhe em seu caderno dois polgonos convexos e dois polgonos no convexos.  
<F+>
<R->

<163> 
Elementos de um polgono convexo 

  O polgono convexo desenhado 
 a seguir  indicado por 
 {a{b{c{d{e{f. Nele destacamos os seus elementos: 

<F->
       A       B
       icccccccce     
      i          e
     i            e
    i              e
 Fi                eC
   e                i
    e              i
     e            i
      e::::::::::i
      E         D
<F+>

<R+>
<F->
Vrtices: os pontos A, B, C, D, E e F. 
<p>
Lados: os segmentos de reta ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d*, ^c?{d{e*, ^c?{e{f* e ^c?{f{a*. 
Diagonais: os segmentos de reta que ligam um vrtice a outro vrtice no consecutivo a ele: ^c?{a{c*, ^c?{a{d*, ^c?{a{e*, ^c?{b{d*, ^c?{b{e*, ^c?{b{f*, ^c?{c{e*, ^c?{c{f* e ^c?{d{f*. 

ngulos internos: os ngulos formados por dois lados consecutivos: :?{a{b{c* ou :{b, :?{b{c{d* ou :{c, :?{c{d{e* ou :{d, :?{d{e{f* ou :{e, :?{e{f{a* ou :{f e :?{f{a{b* ou :{a. 

ngulos externos: os ngulos formados por um lado e o prolongamento do lado consecutivo a ele: :?{p{a{b* ou :a, :?{q{b{c* ou :b, :?{r{c{d* ou :c, :?{s{d{e* ou :d, :?{t{e{f* ou :e, :?{u{f{a* ou :f. 
<p>
Em qualquer polgono convexo, o nmero de vrtices, de lados, de 
  ngulos internos e de ngulos externos  o mesmo. 

Atividades

28. No polgono {a{b{c{d{e{f dado anteriormente, conte quantos so os vrtices, quantos so os lados, quantos so os ngulos internos e quantos so os ngulos externos. 

_`[{para as atividades 29 e 30, pea orientao ao professor_`]

29. Construa um polgono convexo e escreva quantos e quais so: 
a) os vrtices; 
b) os lados; 
c) os ngulos internos; 
d) os ngulos externos. 
Os valores obtidos confirmam a concluso anterior? Confira com seus colegas. 
<p>
30. Faa um desenho de um tringulo {e{f{g e comprove nele a afirmao anterior. 
<F+>
<R->

<164> 
<R+>
Nome dos polgonos quanto ao 
  nmero de lados 
<R->

  Vamos recordar o nome de alguns polgonos e aprender outros: 

<R+>
<F->
 Tringulo (tri = trs) 
  -- 3 lados 
 Quadriltero (quadri = quatro) -- 4 lados 
 Pentgono (penta = cinco) 
  -- 5 lados 
 Hexgono (hexa = seis) 
  -- 6 lados 
 Heptgono (hepta = sete) 
  -- 7 lados 
 Octgono (octo = oito) 
  -- 8 lados 
 Enegono (enea = nove) 
  -- 9 lados 
 Decgono (deca = dez) 
  -- 10 lados 
<p>
 Undecgono (um + dez) 
  -- 11 lados 
 Dodecgono (dois + dez) 
  -- 12 lados 
 Pentadecgono (cinco + dez) 
  -- 15 lados 
 Icosgono (icos = vinte) 
  -- 20 lados 

Atividades 

31. Desenhe um heptgono convexo e um heptgono no convexo. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
32. Responda em seu caderno: 
a) Quantos vrtices tem um dodecgono?  
b) Qual  o polgono convexo que tem o nmero de lados igual ao nmero de diagonais? 

33. Examine o polgono convexo a seguir com seus ngulos internos e externos. 
<p>
            i
           i
          i:a   B 
      A iccccccccecccccc     
 e      i:{a :{b e:b
  e:f i            e
   e  i              e
 F ei :{f      :{c eC
     e                ie
      e              i  e
   :e e :{e  :{d i:c e
   :::::h::::::::::iD
        E    :d i
                 i
                i        

a) Quanto vale a soma da medida de um ngulo interno com a medida do ngulo externo no mesmo vrtice? 
b) Com base na resposta do item anterior, como so chamados os ngulos internos com seus externos no mesmo vrtice? 
<P>
34. Em um tringulo, um dos ngulos internos mede 47 e um dos ngulos externos mede 78. Descubra as medidas dos outros dois ngulos internos. 
35. Em um tringulo {a{b{c, o :{a mede 30 a mais do que :{b, e :{c mede 15 a menos do que :{b. Qual  a medida do ngulo externo adjacente a :{c? 
<F+>
<R->

<165>
Polgonos regulares 

  Voc j viu: 

<R+>
Um polgono convexo  chamado de polgono regular quando tem todos os lados com a mesma medida e tambm todos os ngulos internos com a mesma medida. 
<R->

  Cada cavidade do favo de mel d ideia de um polgono regular de 6 lados: 
<p>
<F->
Hexgono regular
   
    cccccc
           
            
            
           
    ------
<F+>

Atividades 

<R+>
36. Dos polgonos _`[no adaptados_`], quais so polgonos regulares?  
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
37. Os contornos das duas praas tm a forma de polgono regular. Qual deles tem maior permetro? 
<p>
_`[{figuras adaptadas_`]
Um pentgono regular com lado 7,2 m e um enegono regular com lado 4 m. 

38. Examine a sequncia de polgonos regulares: 
 
_`[{figuras descritas por suas legendas_`]
Tringulo equiltero; Quadriltero regular (quadrado); Pentgono regular; Hexgono regu-
  lar; Heptgono regular; Icosgono regular ...

 medida que o nmero de lados vai aumentando, o polgono regular tende a ficar parecido com que figura geomtrica? 
<F+>
<R->

<166>
<R+>
Soma das medidas dos ngulos 
  internos de um polgono convexo Si 
<R->

  A partir da soma das medidas dos ngulos internos no tringulo, 
<p> 
 que voc viu na pgina 473, vamos verificar nos demais polgonos convexos. 

<R+>
<F->
 J demonstramos que no tringulo (3 lados): Si=180 
m:A+m:B+m:C=180 
<F+>
<R->

  Examine agora nestes polgonos convexos: 

 no quadriltero (4 lados): 
  Si=2.#ahj=360
  2=4-2 (nmero de lados menos 2).
 no pentgono (5 lados): 
  Si=3.#ahj=540
  3=5-2 (nmero de lados menos 2).
 no hexgono (6 lados): 
  Si=4.#ahj=720
  4=6-2 (nmero de lados menos 2).
<p>
  A partir de um polgono de 4 lados, se o polgono tem n lados, 
 ele pode ser decomposto em n-2 tringulos (veja as figuras ante-
 riores) _`[no adaptadas_`]. E, como a soma das medidas dos n-
 gulos internos de cada tringulo  180, chegamos  frmula Si=n-2.#ahj. 
  De modo geral: 

<R+>
Se o polgono convexo tem n lados, a soma das medidas de seus ngulos internos Si  dada pela frmula: Si=n-2.180. 
<R->
 
<167> 
<R+>
Soma das medidas dos ngulos 
  externos de um polgono convexo 
  Se 
<R->

  Vejamos agora qual  o valor da soma das medidas dos ngulos externos de um polgono convexo (Se). Examine o que ocorre no pentgono:
<p>
<F->
               i
            Ai :a
            ie
          i    e
        i  :A  e
e:e  i           e
 e  i               e
E i :E             eB
   e             :B ie
    e                i:be
     e              i
      e            i 
   :d e:D :C i
     :::e::::::::
       D     :c_ C
                 _
<F+>

<R+>
<F->
m:A+m:a=180; m:B+m:b=180; m:C+m:c=180;
  m:D+m:d=180; m:E+m:e=180

m:A+m:B+m:C+
  +m:D+m:E -- Si
<p>
m:a+m:b+m:c+
  +m:d+m:e -- Se
Si+Se=5.#ahj=900
<F+>
<R->

  J vimos: Si=5-2.#ahj=
 =3.#ahj=540 
  Assim, temos: 540+Se=900 :> Se=900-540 :> Se=360 
  Podemos provar que o que ocorreu nesse pentgono ocorre em qualquer polgono convexo, ou seja: 

<R+>
Em qualquer polgono convexo, a soma das medidas dos ngulos externos  igual a 360. 
<R->
 
  Para provar isso, vamos considerar um polgono qualquer de n lados. 
  J vimos que, em cada vrtice, a soma da medida do ngulo interno com o externo  180. Como temos n vrtices, teremos n.180 ao todo `(Si+Se`). 
  Assim: 
<R+>
<F->
Si+Se=n.180
<p>
Como Si=n-2.#ahj, podemos escrever: 
n-2.#ahj+Se=n.#ahj 
180n-360+Se=180n
Se=180n-180n+360 
Se=360 
como queramos provar. 
<F+>
<R->

<168>
Atividades

<R+>
<F->
39. Calcule em seu caderno: 
a) a soma das medidas dos ngulos internos de um heptgono convexo. 
b) o nmero de lados de um 
  polgono convexo no qual 
  Si=1.440. 

40. Qual  o valor de x nesta figura? 

_`[{figura no adaptada_`]
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
41. Calcule a soma das medidas dos ngulos internos de um: 
a) decgono; 
b) dodecgono; 
c) pentadecgono; 
d) icosgono. 

42. Qual  o polgono cuja soma das medidas dos ngulos internos  igual  soma das medidas dos ngulos externos aumentada de 720?  
43. Qual  o polgono cuja soma das medidas dos ngulos internos  igual ao dobro da soma das medidas dos ngulos externos?  

ngulos internos e ngulos 
  externos de polgonos regulares 

Lembre-se: Polgono regular  aquele que tem todos os lados 
  com medidas iguais e todos os ngulos internos com medidas iguais. 
<F+>
<R->
<p>
  Examine com ateno estas figuras que sugerem polgonos regulares: 

<F->
     ie
    i  e
   i    e
  i      e
 i        e
j::::::::::h

!:::::::
l       _
l       _
l       _
l       _
h:::::::j

       ie
     i    e
   i       e
 i           e
i             e 
e             i
 e           i
  e         i
   e:::::::i   
<p>
    icccccccce
   i          e
  i            e
 i              e 
 e              i
  e            i
   e          i
    e::::::::i
<F+>

  Indicando por: 
<R+>
<F->
ai: medida de cada ngulo interno de um polgono regular, temos ai=Si~n=?n-2.#ahj*~n 
ae: medida de cada ngulo externo de um polgono regular, temos ae=Se~n=360~n 
<F+>
<R->

<169>
  Observe por exemplo o octgono regular _`[no adaptado_`]. Vamos determinar a medida de cada ngulo interno ai e de cada ngulo externo ae nesse polgono regular. 
<p>
<R+>
<F->
n=8 
Si=(8-2).#ahj=6.#ahj=
  =1.080 e Se=360 
Cada ngulo interno: ai= 
  =1.080~8=135
Cada ngulo externo: ae=
  =180-135=45 ou ae=360~8=45

Atividades 

44. Copie e complete a tabela em seu caderno. 

_`[{tabela adaptada em quatro colunas_`]
1 coluna: Polgono regular;
2 coluna: Soma das medidas de todos os ngulos internos;
3 coluna: Medida de cada ngulo interno;
4 coluna: Medida de cada ngulo externo.
<p>
!:::::::::::::::::::::::::::
l 1        _ 2 _ 3 _ 4 _
r::::::::::::w:::::w:::::w:::::w
l Tringulo _     _     _     _
l equiltero _ ''' _ ''' _ ''' _
r::::::::::::w:::::w:::::w:::::w
l Quadrado  _ ''' _ ''' _ ''' _
r::::::::::::w:::::w:::::w:::::w
l Pentgono _     _     _     _
l regular    _ ''' _ ''' _ ''' _
r::::::::::::w:::::w:::::w:::::w
l Hexgono  _     _     _     _
l regular    _ ''' _ ''' _ ''' _
r::::::::::::w:::::w:::::w:::::w
l Decgono  _     _     _     _
l regular    _ ''' _ ''' _ ''' _
r::::::::::::w:::::w:::::w:::::w
l Polgono  _     _     _     _
l regular de _     _     _     _
l n lados    _ ''' _ ''' _ ''' _
h::::::::::::j:::::j:::::j:::::j

45. Em um polgono regular de 20 lados (icosgono regular), qual  a medida de cada ngulo interno? E de cada ngulo externo?  
<p>
46. Em um polgono regular, cada ngulo interno mede 160. Quantos lados tem esse polgono? 
 
47. Determine a medida do ngulo interno de um: 
a) enegono regular; 
b) dodecgono regular. 
 
48. Qual  o polgono cuja soma das medidas dos ngulos internos  igual a 2.340? 
<F+>
<R->

Desafio
 
  Qual  a medida de cada ngulo externo de um polgono regular de 25 lados? 

<170>
<R+>
Leitura 

Ladrilhamento: preenchimento de 
  uma superfcie plana 
<R->

  Em um ladrilhamento, as figuras geomtricas planas, cujos contor-
<p>
 nos so polgonos, devem se encaixar sem que haja espao entre elas e sem que haja superposio. Dessa maneira, elas podem ocupar toda a superfcie de uma regio plana considerada, preenchendo-a. 
  Usando apenas um tipo de regio poligonal regular, h somente trs regies poligonais regulares com as quais  possvel obter um ladrilhamento: 

<R+>
<F->
_`[{figuras no adaptadas, seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Favo -- um ladrilhamento da natureza.
Legenda 2: Com formas quadradas.
Legenda 3: Com formas triangulares equilteras.
Legenda 4: Com formas hexagonais regulares. 
Legenda 5: No  possvel obter ladrilhamento com formas pentagonais regulares.
<p>
_`[{para as atividades de 1 a 4, pea orientao ao professor_`]

Agora  com voc! 
1. Determine a soma das medidas de todos os ngulos com vrtice em A, B e C das figuras dadas anteriormente. 
2. Por que no  possvel obter um ladrilhamento s com formas pentagonais regulares? 
3. Examine a figura _`[no adaptada_`].  possvel um ladrilhamento s com formas octogonais regulares?  
4. H outros tipos de ladrilhamento formados pela combinao de duas ou mais regies poligo-
  nais regulares. Veja esse exemplo _`[no adaptado_`] constitudo por regies quadradas e octogonais regulares. 
Reproduza as figuras a seguir vrias vezes em uma folha de papel sulfite e recorte-as. Em seguida, use sua criatividade e faa um ladrilhamento com elas. 
<p>
_`[{figuras adaptadas_`]
Tringulo, quadrado e hexgono.
<F+>
<R->

<R+>
5. Converse com um colega e, juntos, descubram uma forma poligonal que no seja regular e com a qual seja possvel obter um ladrilhamento.  
<R->

<171>
<R+>
Retomando o nmero de diagonais 
  de um polgono convexo 
<R->

  Vamos retomar o que voc j aprendeu no captulo 3 sobre o 
 nmero de diagonais de um polgono convexo. 
  Dado um polgono convexo de n lados, de cada um dos seus vrtices partem n-3 diagonais. Como o polgono de n lados tem n vrtices, pode parecer que teremos n.n-3 diagonais. Mas, agindo assim, cada diagonal foi contada duas vezes. Portanto, precisamos dividir n.n-3 por 2. 
<p>
  Da, chegamos  frmula do nmero d de diagonais de um polgono convexo de n lados: d=?n.n-
 -3*~2

<R+>
<F->
Pentgono: n=5. De cada vrtice partem 2 diagonais n-3. A diagonal ^c?{a{c* e a diagonal ^c?{c{a* so a mesma.

Atividades

49. Determine o nmero de diagonais dos seguintes polgonos convexos: 
a) dodecgono 
b) icosgono  

50. Um polgono convexo tem 13 vrtices. Quantas diagonais ele possui?

51. Responda: 
a) De qual polgono convexo saem 5 diagonais de cada vrtice?  
b) Qual  o total de diagonais desse polgono? 
<p>
52. Dados cinco pontos no plano, dispostos como na figura a seguir, representando os vrtices de um polgono, quantos segmentos de reta podemos traar sempre unindo dois vrtices no consecutivos? Marque os pontos 
  em seu caderno, trace os segmentos e confira sua resposta. 
<F+>
<R->

<F->
       o A

E o       o B

     o   o
     D   C
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
53. Faa o que se pede. 
a) Calcule a soma do nmero de lados com o nmero de diagonais no tringulo, no quadriltero, no pentgono, no hexgono e no icosgono. 
<p>
b) Determine a expresso que indica essa soma para um polgono convexo de n lados. 
c) Verifique os valores encontrados no item a usando a frmula obtida no item b. 

54. Sete cidades esto localizadas de acordo com o desenho a seguir. Se forem construdas estradas ligando-as duas a duas, quantas sero as estradas? 

       A
       o
  G         B
  o        o

 F          C
 o         o

    E     D
    o    o
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<172>
<p>
<R+>
5. Ampliando o estudo dos 
  tringulos 
<R->

  Uma das figuras geomtricas mais conhecidas e usadas pela humanidade  o tringulo. Desde a 
 Antiguidade at os dias atuais fazemos o uso de objetos triangulares: 

<R+>
<F->
_`[{trs figuras seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Tringulo -- instrumento musical.
Legenda 2: Corda de ns utilizada pelos egpcios.
Legenda 3: Tringulo de sinalizao.

Caractersticas de um tringulo 
<F+>
<R->

  Veja duas caractersticas prprias do tringulo: 
<R+>
<F->
1) O tringulo  o nico polgono que no tem diagonal. 
2) O tringulo  o nico polgono rgido.  
<F+>
<R->
  Observe as figuras a seguir para entender a rigidez dos tringulos e a no rigidez dos demais polgonos. 
<R+>
<F->
 No  possvel deformar um tringulo, ou seja, mudar a sua forma mantendo-se as medidas dos lados. 
 Com os demais polgonos isso  possvel de ser feito; isto , os demais polgonos podem ser deformados mantendo-se as medidas dos lados. 
<F+>
<R->

<F->
!:::::::       iccccccccccci
l       _  :>  i           i
l       _     i           i
l       _    i           i
h:::::::j   j:::::::::::i
    
      ie
    i    e
  i        e
i            e :> ie        ie
e            i    e  e    i  i
 e          i      e   ei   i
  e        i        e      i
   e::::::i          e::::i  
<F+>
<p>
  Essa propriedade da rigidez do tringulo  muito utilizada nas estruturas metlicas, no madeiramento do telhado de casas, nas estruturas das pontes, torres, etc. Procure observar a presena macia do tringulo  sua volta. 

<173> 
Elementos de um tringulo 

  O tringulo a seguir pode ser indicado por tringulo {a{b{c. 

<F->
                    i
                  i
              A i
               ie :a
             i   e
           i  :Ae
         i         e
       i            e
     i               e
:ci :C         :Be B
::j::::::::::::::::::::e:::::::
  C                 :be
                         e
<F+>
<p>
  Com ele vamos recordar o nome de alguns elementos de um tringulo e aprender outros.  
<R+>
<F->
 Vrtices: pontos A, B e C. 
 Lados: segmentos de reta ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{c{a*. 
 ngulos internos: ngulos :{a, :{b e :{c. 
 ngulos externos: ngulos :a, :b e :c. 
<F+>
<R->
  O lado oposto ao ngulo :{a  o lado ^c?{b{c*. 
  O ngulo oposto ao lado ^c?{a{c*  o ngulo :{b. 
  Os ngulos internos no adjacentes ao ngulo externo :a so os ngulos :{b e :{c. 
  Os ngulos :{a e :a so adjacentes suplementares med:{a+
 +med:a=180. 

Atividades 

<R+>
<F->
55. Examinando a figura anterior, responda: 
<p>
a) Qual  o lado oposto ao ngulo :{b?  
b) Qual  o ngulo oposto ao lado ^c?{a{b*?  
c) Quais so os ngulos internos no adjacentes ao ngulo externo :c?  
d) Quais so os pares de ngulos adjacentes suplementares? 
e) Quais so os ngulos internos no adjacentes ao ngulo externo :a?  
 
56. Sem utilizar figura, responda: 
a) Em um tringulo {e{f{g, qual  o lado oposto ao ngulo interno :{e?  
b) Nesse tringulo, se :{e mede 48 e :{f mede 37, quanto mede :{g?  
c) Ainda no tringulo {e{f{g, qual  o ngulo oposto ao lado ^c?{e{g*?  
<p>
57. Descubra onde mais o tringulo aparece no nosso dia a dia. Troque ideias com seus colegas. 

Condio de existncia de um tringulo 
<F+>
<R->

  Fbio construiu, com rgua e compasso, um tringulo com lados de 4 cm, 3 cm e 2 cm.
  Denise tentou construir um tringulo com lados de 4 cm, 2 cm e 1,5 cm. Mas no conseguiu. 
  Ficou ento a pergunta: Em que condio, dadas as medidas de trs segmentos de reta,  possvel construir um tringulo cujos lados tenham essas medidas? Procure encontrar a resposta fazendo as atividades a seguir. 

<174> 
Atividades 

<R+>
<F->
58. Use rgua e compasso e tente construir em seu caderno um tringulo cujas medidas dos trs lados so: 
<p>
a) 6 cm, 8 cm e 4 cm 
b) 3,5 cm, 6 cm e 3,5 cm 
c) 7 cm, 4 cm e 2 cm  
d) 6 cm, 3 cm e 3 cm  
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

59. Atividade em dupla 
  Discuta com seu colega por que em alguns itens da atividade anterior no foi possvel construir um tringulo. 
 
Desigualdade triangular 

  Observe nas atividades anteriores que s  possvel construir o tringulo quando a medida maior  menor do que a soma das outras 
 duas medidas. Por exemplo: 8<6+4 e 6<3,5+3,5. 
  Em outros casos, isso no ocorre. Por exemplo: 7>4+2 e 6=3+3.
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Com base no que foi visto, e sem demonstrar, vamos enunciar a condio de existncia de um tringulo, conhecida como desigualdade triangular."

<R+>
Em todo tringulo, a medida de um lado  sempre menor do que a soma das medidas dos outros dois lados.
<R->

  Assim, se a, b e c so as medidas, na mesma unidade, dos trs lados de um tringulo, podemos afirmar que: 

<R+>
<F->
a<b+c 
b<a+c 
c<a+b
     
    e                
      e
 c      eb
         e
----------u
     a

Atividades  

60. Verifique se  possvel construir um tringulo nas condies dadas. Se sim, construa-o. Se no, explique por qu. 
a) lados de 4 cm, 4 cm e 4 cm; 
b) lados de 8 cm, 4 cm e 3 cm.
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
61. Volte agora  questo 59 e verifique se voc e seu colega acertaram a resposta. 

62. Clculo mental -- Atividade em equipe 
<R->
  Em cada item, um verifica se existe ou no o tringulo cujos lados tm as medidas dadas. Nos casos positivos, ele diz se o tringulo  escaleno, issceles ou equiltero. Os demais colegas conferem a resposta. 
<p>
<R+>
<F->
a) 8 cm, 14 cm e 7 cm 
b) 3 cm, 6 cm e 10 cm
c) 5 cm, 5 cm e 9 cm  
d) 7 cm, 7 cm e 7 cm
e) 12 cm, 7 cm e 5 cm 
f) 4 cm, 2 cm e 4 cm
<F+>
<R->

<175>
<R+>
<F->
63. Se x cm  a medida do lado maior em um tringulo escaleno e 7 cm e 4 cm so as medidas dos outros dois lados, quais so os possveis valores de x? 
64. O maior lado de um tringulo mede 8 cm e um dos outros dois lados mede 4 cm. Que nmeros inteiros podem ser a medida que o terceiro lado deve ter em centmetros? 
65. Se um tringulo tem dois lados medindo 6 cm e 3 cm, qual  o maior nmero inteiro que pode indicar a medida do terceiro lado em centmetros? E o menor? 
<p>
66. Determine as possveis medidas do terceiro lado de um tringulo issceles sabendo que as medidas dos outros lados so: 
a) 8 cm e 5 cm 
b) 7 cm e 3,5 cm
c) 10 cm e 6 cm  
d) 10 cm e 3 cm 
e) 5 cm e 5 cm 
f) 7 cm e 7 cm 
 
Relaes envolvendo as medidas 
  dos ngulos e dos lados de um 
  tringulo 
<F+>
<R->

  Algumas relaes voc j viu: 
 
<R+>
<F->
Em todo tringulo, a soma das medidas dos trs ngulos internos  180.
Em todo tringulo, a soma das medidas dos trs ngulos externos  360.
Em todo tringulo, a medida de um lado  sempre menor do que a soma das medidas dos outros dois.
<F+>
<R->
<p> 
  Vamos agora verificar que relao existe entre a medida de um ngulo externo e as medidas dos dois ngulos internos no adjacentes a ele. 

<F->
                    i
                  i
              A i
               ie x
             i   e
           i      e
         i         e
       i            e
     i               e
 z i                  e y 
::j::::::::::::::::::::e:::::::
  C                   B
<F+>

  Sabemos que: 
<R+>
<F->
 m:{a+m:{b+m:{c=180 
 m:{a+x=180 
<F+>
<R->
 
  Comparando as duas igualdades anteriores, conclumos que: 
<p>
 x=m:{b+m:{c em que x  a medida do ngulo externo, e :{b e :{c so os ngulos internos no adjacentes a ele. 
  De modo anlogo, chegamos a: y=m:{a+m:{c e z=m:{a+
 +m:{b 
  Assim, podemos escrever: 
 
<R+>
Em todo tringulo, a medida de um ngulo externo  igual  soma das medidas dos ngulos internos no adjacentes a ele. 
<R->

<176>
<R+>
<F->
Atividades
 
_`[{para as atividades de 67 a 72, pea orientao ao professor_`]

67. Use os ngulos externos cujas medidas aparecem nas figuras a seguir e confira a propriedade que voc acabou de ver. 
68. Determine o valor de x nos tringulos: 
<p>
69. Em um tringulo um ngulo externo mede 120. Qual  a medida dos dois ngulos internos no adjacentes a ele sabendo que eles tm a mesma medida? 
70. Determine o valor das medidas dos ngulos internos do tringulo a seguir. 
71. Observe esta figura e calcule o valor de y:  
72. Em um tringulo {a{b{c, dois dos ngulos externos medem 117 e 153. Determine a medida dos ngulos internos e escreva o tipo do tringulo, quanto aos ngulos.  
<F+>
<R->

<177> 
<R+>
Outra relao entre lados e 
  ngulos de um tringulo 
<R->

  Examine as comparaes com as medidas dos lados e dos ngulos dos tringulos a seguir: 
<p>
<R+>
<F->
a) Tringulo {a{b{c 
90>60>30
lado oposto a 90 -- m^c?{a{b*
lado oposto a 60 -- m^c?{b{c*
lado oposto a 30 -- m^c?{a{c*
m^c?{a{b*>m^c?{b{c*>
  >m^c?{a{c*
Observe que ao maior ngulo ope-se o maior lado, e ao menor ngulo ope-se o menor lado. 

b) Tringulo {p{q{r 
m^c?{p{q*>m^c?{p{r*>
  >m^c?{q{r*
ngulo oposto ao lado ^c?{p{q* 
  -- 80
ngulo oposto ao lado ^c?{p{r* 
  -- 56
ngulo oposto ao lado ^c?{q{r* 
  -- 44
80>56>44
Observe que ao maior lado ope-se o maior ngulo, e ao menor lado ope-se o menor ngulo. 
<F+>
<R->

  Os matemticos j provaram que essas relaes de desigualdade en-
<p>
 tre lados e ngulos de um tringulo valem para qualquer tringulo e podem ser enunciadas assim: 

<R+>
<F->
Em todo tringulo, ao maior ngulo ope-se o maior lado e, reciprocamente, ao maior lado ope-se o maior ngulo. Da mesma forma, ao menor ngulo ope-se o menor lado e, reciprocamente, ao menor lado ope-se o menor ngulo. 

Atividades  

73. Responda sem construir as figuras. 
a) Qual  o maior lado e o menor lado em um tringulo {e{f{g que tem :E de 25, :F de 95 e :G de 60? 
b) Qual  o maior ngulo e o menor ngulo em um tringulo {m{h{s que tem ^c?{m{h* de 12 cm, ^c?{h{s* de 10 cm e ^c?{m{s* de 7 cm?  
<p>
74. Em um tringulo que tem dois lados com medidas iguais, o que acontece com os dois ngulos opostos a esses lados?  

        
         
3 cm      3 cm
           
     ?    ? 
   j::::::::::h

<F+>
<R->
               ::::::::::::::::::::::::

<178>
6. Figuras congruentes 

  Imagine duas figuras tais que seja possvel transportar uma sobre a outra de modo que coincidam. Dizemos que essas figuras so congruentes. 
  Observe os segmentos de reta do primeiro quadro e os ngulos do segundo: 

<R+>
<F->
   3 cm
:::::::::::::
A         B
<p>
   3 cm
:::::::::::::
C         D

      4 cm
::::::::::::::::::
E              F

Dentre os segmentos anteriores, so congruentes ^c?{a{b* e ^c?{c{d*. Indicamos assim: ^c?{a{b*==^c?{c{d*. 

          
         
        
       
       
     40
P ------------

Q cccccccccccc
     40
      
       
        
        
<p> 
    e
     e
      e
       e
    30e
---------o R

:P e :Q so congruentes. Indicamos assim: :P==:Q. 
<F+>
<R->

Congruncia de tringulos 
<F+>
<R->

  Dos trs tringulos a seguir, dois deles podem coincidir por meio de um movimento no plano: os tringulos {a{b{c e {p{q{r. 

<F->
       C
       e
         e 
           e
             e  
               e
                 e
                   e
j::::::::::::::::::::h
A                   B 
<F+>
<p>
<R+>
<F->
       G
       e
         e 
           e
             e  
               e
                 e
                   e
j::::::::::::::::::::h
E                   F 

       R
       e
         e 
           e
             e  
               e
                 e
                   e
j::::::::::::::::::::h
P                   Q 

Tringulo {a{b{c e tringulo {p{q{r so tringulos congruentes. Indicamos assim: {a{b{c=={p{q{r.
<p>
A, B e C so os vrtices correspondentes aos vrtices P, Q e R, respectivamente.
^c?{a{b*==^c?{p{q* :{a==:{p
^c?{a{c*==^c?{p{r* :{b==:{q
^c?{b{c*==^c?{q{r* :{c==:{r

A congruncia dos seis elementos (trs lados e trs ngulos) determina a congruncia dos dois tringulos.

A congruncia dos dois tringulos determina a congruncia dos seis elementos. 
<F+>
<R->

  Veja como podemos indicar nas figuras a congruncia dos seis elementos: 

<F->
       C
       e
         e
           e
             e
               e
  j::::::::::::::h
  A             B 
<F+>
<p>
<F->
       R
       e
         e
           e
             e
               e
  j::::::::::::::h
  P             Q 
<F+>

<179>
Atividades 

75. Atividade em dupla 
  Converse com seu colega e respondam s perguntas: 
<R+>
<F->
a) O que acontece com as medidas de dois segmentos de reta congruentes?  
b) E com as medidas de dois ngulos congruentes?  
c) Quando duas circunferncias so congruentes?  

76. Os tringulos {a{b{c e {e{f{g representados a seguir so congruentes {a{b{c=={e{f{g. Determine as medidas indicadas pelas letras. 
<p>
         A
         e
         z e 
             e
    c          e  
                 e
                   e
    60           y e
  j::::::::::::::::::::h
  B     5 cm         C 

           E
           e
           w e 
               e
2,5 cm          e  
                   e
                     e
      x           30e
    j:::::::::::::::::::h
    F     e             G 

Casos de congruncia de 
  tringulos 
<F+>
<R->
 
  Mrio estava acompanhando a 
 aula de Matemtica, mas come-
<p>
 ou a achar tudo aquilo muito 
 trabalhoso. 

_`[{mrio diz_`]
  "Para saber se dois tringulos so congruentes, vou ter de verificar toda vez a congruncia dos seis elementos (trs lados e trs ngulos)?"

_`[{o professor diz_`]
  "Se voc escolher convenientemente, basta verificar a congruncia de trs deles. Se ela ocorrer, os outros trs elementos tambm so congruentes e, consequentemente, os tringulos so congruentes."

  Agora ficou mais simples, no ? 
  Mas ateno! As figuras a seguir mostram que a congruncia dos trs ngulos no garante a congruncia dos tringulos. Veja: 
<p>
  Os tringulos _`[no adaptados_`], apesar de terem dois lados e um ngulo congruentes, tambm no so congruentes. 

_`[{mrio diz_`]
  "Como ento escolher $"convenientemente$" os trs elementos?"

_`[{o professor diz_`]
  "Para isso  preciso conhecer os quatro casos em que a congruncia de trs elementos garante a congruncia dos tringulos."

<180>
<R+>
1 caso: LAL (lado, ngulo, lado) 

Dois tringulos so congruentes quando possuem dois lados e o ngulo compreendido entre eles respectivamente congruentes. 
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Observe que o :{a  formado por ^c?{a{b* e ^c?{a{c*, e que o 
<p>
 :{e  formado por ^c?{e{f* e ^c?{e{g*."

<R+>
Se ^c?{a{b*==^c?{e{f*, :{a==:{e e ^c?{a{c*==^c?{e{g*, ento podemos garantir que tringulo {a{b{c== tringulo {e{f{g. 

2 caso: LLL (lado, lado, 
  lado) 
 
Dois tringulos so congruentes quando possuem os trs lados respectivamente congruentes. 
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Podemos ento afirmar que :{a==:{e, :{b==:{f e :{c==:{g." 

<R+>
<F->
Se ^c?{a{b*==^c?{e{f*, ^c?{a{c*==^c?{e{g* e ^c?{b{c*==^c?{f{g*, ento tringulo {a{b{c== tringulo {e{f{g. 
<p>
Atividades 

77. Atividade em equipe 
a) Use rgua e transferidor para construir um tringulo no qual um dos ngulos mea 60 e esse ngulo seja formado por lados de 5 cm e 3 cm. Depois, compare-o com os tringulos que seus colegas construram e verifique se so todos congruentes. 
b) Use rgua e compasso para construir um tringulo com lados de 8 cm, 5 cm e 7 cm. Compare-o com os tringulos que seus colegas construram e verifique se todos so congruentes. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
78. Sabendo que estes tringulos so congruentes, quais so os valores de x, y e z? 
<R->
<p>
<F->
       x
A::::::::B
    a     _
          _
          _
          _
     z    _ y
         b_
          _
          _
           aC

          P
          ie
         i  e
3,5 cm i    e 4 cm
       i      e
      i        e
     i          e
    i b        a e
   j::::::::::::::h
   R    5 cm    Q
<F+>

<181>
<p> 
<R+>
3 Caso: ALA (ngulo, lado, ngulo) 

Dois tringulos so congruentes quando possuem um lado e os dois ngulos adjacentes a ele respectivamente congruentes. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

Se ^c?{a{b*==^c?{e{f*, :{a==:{e e :{b==:{f, ento :{c==:{g, ^c?{a{c*==^c?{e{g* e 
  ^c?{b{c*==^c?{f{g*, ou seja, tringulo {a{b{c== tringulo {e{f{g. 

4 Caso: {{laao (lado, ngulo, ngulo oposto) 

Dois tringulos so congruentes quando possuem um lado, um ngulo adjacente e o ngulo oposto a esse lado respectivamente congruentes. 

_`[{figuras no adaptadas_`]
<p>
Se ^c?{a{b*==^c?{e{f*, :{a==:{e e :{c==:{g, ento tringulo {a{b{c== tringulo {e{f{g. 
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "A congruncia de um ou dois elementos nunca garante a congruncia de dois tringulos. A congruncia de quatro ou cinco elementos s garante a congruncia de dois tringulos se for possvel aplicar neles um dos casos de congruncia de tringulos."

  Veja os exemplos: 

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
<F->
a) Tringulo {a{b{c e tringulo {m{n{o tm ^c?{a{c*==^c?{m{o*, :{a==:{m e :{c==:{o. Ento, podemos afirmar que tringulo {a{b{c== tringulo {m{n{o (caso ALA). Assim, os demais elementos so congruentes: ^c?{a{b*==^c?{m{n*, 
  ^c?{b{c*==^c?{n{o* e :{b==:{n.
<p>
b) No podemos garantir a congruncia desses dois tringulos. Sabemos que so congruentes um lado e dois ngulos, mas isso no corresponde ao caso ALA nem ao caso {{laao. 
Analise essa afirmao com seus colegas. 
<F+>
<R->

<182>
Atividades
 
<R+>
<F->
_`[{para as atividades 79 e 81, pea orientao ao professor_`]
 
79. Construa um tringulo com um lado de 7 cm compreendido entre ngulos de 50 e 20. Depois, compare-o com os tringulos que seus colegas construram.  
80. Construa um tringulo {a{b{c no qual m^c?{a{b*=5 cm, m:{a=70 e m:{c=50. Verifique se o seu tringulo {a{b{c  congruente aos tringulos de seus colegas. 
<F+>
<R->
<p> 
_`[{o professor diz_`]
  "Em primeiro lugar, determine m:{b."

<R+>
81. Verifique em cada item se podemos ou no garantir que os tringulos so congruentes sem efetuar medies. Em caso positivo, indique o caso que garante a congruncia (LLL, LAL, ALA ou {{llao). 
<R->

_`[{figuras no adaptadas_`]

<183>
<R+>
<F->
82. Verifique em cada item a seguir se  possvel afirmar que os tringulos so congruentes. Em caso positivo, escreva no caderno qual caso garante a congruncia dos tringulos e quais so os demais elementos congruentes. 
a) Tringulo {p{q{r tem ngulos de 75, 90 e 15. Tringulo {x{y{z tem ngulos de 75, 90 e 15. 
<p>
b) Os lados do tringulo {r{s{p medem ^c?{r{s*: 8 cm, ^c?{r{p*: 10 cm e ^c?{s{p*: 13 cm. Os lados do tringulo {e{f{g medem ^c?{e{g*: 10 cm, ^c?{f{g*: 13 cm e ^c?{e{f*: 8 cm. 
c) Tringulo {e{f{g e tringulo {x{y{z so tais que ^c?{e{f*==^c?{x{y*, ^c?{e{g*==^c?{x{z* e :{f==:{y. 
d) Tringulo {p{q{r e tringulo {m{n{o tm :{r reto, :{o reto, ^c?{p{r*==^c?{m{o* e ^c?{q{r*==^c?{n{o*. 
e) Tringulo {a{b{c  issceles de 20 cm de permetro e tringulo {m{n{o  issceles de 20 cm de permetro.
f) Tringulo {e{f{g  equiltero com 12 cm de permetro e tringulo {p{q{r  equiltero com 12 cm de permetro. 
g) ^c?{a{c*==^c?{p{r*, 
  :{a==:{r, :{b==:{q   
<p>
     A             R
     ie             ie
    i  e           i  e
   i    e         i    e
  i      e       i      e
 i        e     i        e
j::::::::::h   j::::::::::h
B        C   P         Q

h) ^c?{f{g*==^c?{m{n*, :{f==:{m, :{g==:{n 
 
     G             N
     ie             ie
    i  e           i  e
   i    e         i    e
  i      e       i      e
 i        e     i        e
j::::::::::h   j::::::::::h
F        H   L         M 

83. Com rgua e compasso, construa dois tringulos: um com lados medindo 4 cm, 6 cm e 9 
<p>
  cm e o outro com lados de 6 cm, 9 cm e 13,5 cm. Analise todos os lados e ngulos e constate um fato interessante: Dois tringulos podem ter cinco elementos congruentes (trs ngulos e dois lados) e mesmo assim no serem congruentes. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
84. Sobre os tringulo {a{b{c e tringulo {r{s{p sabe-se que ^c?{a{b*==^c?{r{s*, :{a==:{r e :{c==:{p. 
a) Podemos garantir que esses tringulos so congruentes?  
b) Se a resposta do item a for sim, qual caso de congruncia garante essa resposta?  

85. Qual  o caso que garante 
  a congruncia destes dois 
<p>
  tringulos? Qual  o valor de a, b e x? 

  "
  l^  
  la ^  
  l    ^  
  l      ^  
x l        ^  
  l          ^  
  l        28^  
  h::::::::::::::h 
       4 cm

               j
             ^_
           ^ b_
         ^    _
       ^      _ 2 cm
     ^        _
   ^          _
 ^ 28       _
j::::::::::::::j
      4 cm
<F+>
<R->

<184>
<p>
<R+>
Uma aplicao dos casos de 
  congruncia de tringulos 
<R->

  Voc j deve ter percebido que podemos chegar s propriedades 
 geomtricas sem a necessidade de usar medies. 
  A esse mtodo de raciocnio chamamos de demonstrao. 
  Para demonstrarmos uma propriedade geomtrica, devemos seguir alguns passos. 
  Vamos, por exemplo, demonstrar que: 

<R+>
Em todo tringulo issceles, os ngulos opostos aos lados congruentes so tambm congruentes. 
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Lembramos que tringulo issceles  aquele que tem dois lados de medidas iguais (congruentes)."
<p>
<F->
        A
        we            
       i_ e   
      i _  e 
     i  _   e 
    i   _    e
   i    _     e
  i     _      e
 i      _       e 
j:::::::j::::::::h
B      M       C 
<F+>

  Sabemos que ^c?{a{b*==^c?{a{c* e queremos provar que :{b==:{c. 
  Para isso vamos usar o segmento ^c?{a{m*, que liga o vrtice A ao ponto mdio de ^c?{b{c* (ponto M) e verificar que tringulo {a{b{m== tringulo {a{c{m. 
<R+>
<F->
 ^c?{a{b*==^c?{a{c* (dado inicial) 
 ^c?{b{m*==^c?{c{m* (M  o ponto mdio de ^c?{b{c*) 
 ^c?{a{m==^c?{a{m* (segmento comum ao tringulo {a{b{m e tringulo {a{c{m)  
<F+>
<R->
<p>
  Pelo caso LLL, podemos afirmar que tringulo {a{b{m== tringulo {a{c{m e, a partir disso, concluir que :{b==:{c. 

<R+>
<F->
Observaes: 
1) s vezes, essa propriedade dos tringulos issceles  enunciada assim: 

Em um tringulo issceles, os ngulos da base so congruentes. 

2) O tringulo equiltero  um caso particular de tringulo issceles. Nele, qualquer lado pode ser considerado base. 
  Podemos ento enunciar: 

Em um tringulo equiltero os trs ngulos so congruentes e cada um deles mede 60 1803. 
<F+>
<R->

  Por exemplo, se tringulo {e{f{g  equiltero, podemos escrever: 
<p>
<R+>
M^c?{e{f*=m^c?{f{g*=
  =m^c?{e{g* e m:{e=
  =m:{f=m:{g=60 
<R->

<185> 
Atividades 

<R+>
<F->
86. Responda em seu caderno: 
a) Se o tringulo {a{b{c  issceles de base ^c?{b{c*, m^c?{b{c=9 cm e seu permetro  de 20 cm, quais so as medidas dos trs lados?  
b) Se um tringulo issceles tem permetro de 20 cm e um dos lados mede 9 cm, quais as medidas dos trs lados?  
c) Quais so as medidas dos ngulos internos de um tringulo retngulo e issceles? 
d) Em um tringulo issceles, um dos ngulos internos mede 80. Quais so as medidas dos trs ngulos internos? 
e) Se um dos ngulos internos de um tringulo issceles mede 120, quanto medem os trs ngulos internos desse tringulo? 
<p>
87. No tringulo issceles {p{q{r, ^c?{p{q*==^c?{p{r*. Qual  o valor de x, em graus? 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

88. Clculo mental 
  O tringulo {a{b{c  issceles com ^c?{a{b*==^c?{a{c*. Calcule mentalmente o valor de x, em graus, sabendo que ^c?{b{c*_l^c?{p{q*. 

<F->
       A
       ie            
      i  e 
     i    e 
    i      e
P i::::::::eQ
  i          e
 i            e 
j::::::::::::::h
B             C 
:{q=x; :{a=56
<F+>
 
               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<R+>
7. Mediana, bissetriz e altura 
  de um tringulo 
<R->

  Alm dos vrtices, lados e ngulos (internos ou externos), os tringulos possuem outros importantes elementos: medianas, bissetrizes e alturas. 
  Vamos conhecer cada um deles. 

Mediana de um tringulo 

  Observe o tringulo {a{b{c da figura.
 
<F->
        A
        we            
       i_ e   
      i _  e 
     i  _   e 
    i   _    e
   i    _     e
  i     _      e
 i      _       e 
j:::::::j::::::::h
B      M       C 
<F+>
<p>
  M  o ponto mdio do lado ^c?{b{c*, ou seja, ^c?{b{m*==^c?{c{m*. 
  O segmento ^c?{a{m*  uma mediana do tringulo {a{b{c. 

<R+>
Mediana de um tringulo  o segmento que tem como extremidades um vrtice do tringulo e o ponto mdio do lado oposto a esse vrtice. 
<R->

<186>
Atividades 

<R+>
89. Construa um tringulo {a{b{c no qual m^c?{a{b*=6 cm, m^c?{a{c*=4 cm e m^c?{b{c*=3 cm. Em seguida, trace a mediana ^c?{c{m* desse tringulo. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
90. Quantas medianas possui um tringulo? Converse com um colega e tentem descobrir. 
<p>
91. Em um tringulo {a{b{c, temos: m^c?{a{b*=12 cm, m^c?{a{c*=9 cm e m^c?{b{c*=
  =10 cm. As medianas do tringulo {a{b{c so: ^c?{a{m*, 
  ^c?{b{n* e ^c?{c{r*. Determine m^c?{b{m*, m^c?{r{a*, m^c?{c{n* e m^c?{m{c*. 
<F+>
<R->

Bissetriz de um tringulo 

  Observe o tringulo {a{b{c da figura. 

<F->
        A
        we            
       i_ e   
      i _  e 
     i  _   e 
    i   _    e
   i    _     e
  i     _      e
 i      _       e 
j:::::::j::::::::h
B      S       C 
<F+>
<p>
  O segmento ^c?{a{s* divide o :{a em dois ngulos congruentes, ou seja, :?{b{a{s*==:?{c{a{s*, e o ponto S pertence ao lado ^c?{b{c*.
  O segmento ^c?{a{s*  uma bissetriz do tringulo {a{b{c.

<R+>
<F->
Bissetriz de um tringulo  o segmento que tem uma extremidade em um vrtice do tringulo, divide o ngulo interno ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vrtice. 

Atividades 

92. Use rgua e transferidor para construir um tringulo {a{b{c no qual m^c?{a{b*=6 cm, m:{a=50 e m:{b=70. Em seguida, trace a bissetriz ^c?{b{s* desse tringulo.  
<p>
93. Converse com um colega e respondam: Quantas bissetrizes h em um tringulo? 
<F+>
<R->

Desafio 
 
  No tringulo {m{s{d _`[no adaptado_`], ^c?{s{b*  uma bis-
 setriz. Descubra os valores de x e y e depois a medida de :?{s{b{m. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<187>
Altura de um tringulo 

_`[{o professor diz_`]
  "Voc se lembra? Altura de um tringulo  o segmento com uma extremidade em um vrtice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ngulos retos."
<p>
<F->
         A
         we
        _  e 
        _    e
        _      e  
        _        e
     !::w::       e
     l_-__-_         e
  j:::h::j::j::::::::::h
  B     H            C 
<F+>

<R+>
^c?{a{h*  uma altura do tringulo {a{b{c, relativa  base ^c?{b{c*.
<R->

Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 94 a 98, pea orientao ao professor_`]
<R->

94. Atividade em equipe 
  Todo tringulo possui trs alturas. 
<p>
  Observe as figuras _`[no adaptadas_`] e converse com seus colegas sobre a posio das trs 
 alturas em cada tringulo. Descubram em que situaes acontece cada caso. Considerem os tringulos em roxo e as alturas h1, h2 e h3. 

<R+>
<F->
95. Calcule o valor de x e y com base nas figuras _`[no adaptadas_`] e nas informaes dadas. 
a) ^c?{a{n*  uma bissetriz do tringulo {a{b{c. 
b) ^c?{f{p*  uma altura do tringulo {e{f{g. 

96. Em um tringulo {e{f{g, o :{e mede 100 e o :{f mede 20. O ponto :{o  o encontro da altura ^c?{e{h* com a bissetriz ^c?{g{s* do tringulo {e{f{g. Determine a medida do ngulo :?{e{o{g* 
<F+>
<R->

<188>
<p>
<R+>
<F->
97. No tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`], o ponto R  o encontro da bissetriz ^c?{a{s* com a altura ^c?{c{h*. Sabe-se que :{b mede 70 e :{c mede 30. 
  Determine as medidas dos seguintes ngulos: 
a) :?{a{h{c*   
b) :?{s{a{c* 
c) :?{a{r{c*   
d) :?{a{s{b* 
e) :?{a{c{h* 
f) :?{b{c{h* 

98. O tringulo da figura (tringulo {a{b{c)  issceles de base ^c?{b{c* e o segmento ^c?{a{m*  sua mediana. Demonstre que ^c?{a{m*  tambm bissetriz e altura desse tringulo, ou seja, demonstre a seguinte propriedade: 
<p>
<F->
        A
        we            
       i_ e   
      i _  e 
     i  _   e 
    i   _    e
   i    _     e
  i     _      e
 i      _       e 
j:::::::j::::::::h
B      M       C 
<F+>

Em todo tringulo issceles, a mediana relativa  base  tambm bissetriz e altura. 

Pontos notveis de um tringulo 
<F+>
<R->

  Veremos agora que todo tringulo tem pontos conhecidos por pontos notveis, que so: ortocentro, incentro, baricentro e circuncentro.
<p>
Ortocentro de um tringulo 

  Em cada tringulo _`[no adaptado_`] esto traadas as trs alturas. 

<R+>
<F->
O tringulo {a{b{c  acutngulo. 
^c?{a{h*, ^c?{b{p* e ^c?{c{r* so suas alturas. 
As trs alturas cruzam-se no ponto O, chamado ortocentro do tringulo {a{b{c. 

O tringulo {e{f{g  retngulo em E. 
^c?{g{e*, ^c?{e{x* e ^c?{f{e* so suas alturas. 
O ponto E  o ortocentro do tringulo {e{f{g, pois  comum s trs alturas. 

O tringulo {h{i{j  obtusngulo. 
^c?{h{l*, ^c?{i{m*, e ^c?{j{n* so suas alturas. 
O ponto Q, ortocentro do tringulo {h{i{j,  o encontro dos prolongamentos das trs alturas. 
<F+>
<R->
<189>
<p> 
  Assim: 

<R+>
<F->
Em todo tringulo, as trs alturas ou seus prolongamentos cruzam-se em um mesmo ponto, chamado de ortocentro do tringulo. 

Atividades 

99. No tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`] da pgina 560, se m:{a=77 e m:{b=56, calcule m:?{h{o{c*. 
100. Construa um tringulo acutngulo, um tringulo retngulo e um tringulo obtusngulo. Em cada um deles, localize o ortocentro usando rgua e transferidor ou rgua e esquadro. Converse com os colegas sobre a relao que existe entre o tipo de tringulo e a posio do ortocentro. 
<p>
Incentro de um tringulo 
<F+>
<R->

  Agora examine a figura _`[no adaptada_`]. 
  Veja o que acontece com as trs bissetrizes do tringulo {a{b{c: elas se cruzam no mesmo ponto, chamado incentro. 
<R+>
<F->
 ^c?{a{e*  bissetriz do tringulo {a{b{c. 
 ^c?{b{f*  bissetriz do tringulo {a{b{c. 
 ^c?{c{g*  bissetriz do tringulo {a{b{c. 
 I  o incentro do tringulo {a{b{c. 
 
  Assim: 

Em todo tringulo, as trs bissetrizes cruzam-se em um mesmo ponto, chamado incentro do tringulo. 
<F+>
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "H algum motivo para esse nome: incentro?"
<p>
_`[{o professor diz_`]
  " porque incentro  o centro da circunferncia inscrita no tringulo, ou seja, da circunferncia que toca cada lado do tringulo em um nico ponto."

<190> 
Atividades  

<R+>
<F->
101. Observe o tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`]. Considere as informaes a seguir e calcule m:?{b{i{e*.
 I  o incentro do tringulo {a{b{c; 
 m:{a=82;
 m:{b=62. 

102. Use rgua e transferidor para localizar o incentro I de um tringulo {e{f{g com estas medidas: m`(^c?{e{f*`)=6 cm, m`(:{e`)=80 e m`(:{f`)=40. 
<p>
Baricentro de um tringulo 
<F+>
<R->

  As trs medianas de um tringulo _`[no adaptado_`] tambm se cruzam em um mesmo ponto. Esse ponto  chamado de baricentro do tringulo _`[no adaptado_`]. 
  ^c?{f{m*, ^c?{g{n* e ^c?{h{l* so as medianas do tringulo {f{g{h. 
  O ponto B  o baricentro do tringulo {f{g{h. 
  Assim: 

<R+>
Em todo o tringulo, as trs medianas cruzam-se em um mesmo ponto, chamado baricentro do tringulo. 
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "O baricentro de qualquer tringulo divide a mediana na razo de 1 para 2. No tringulo {f{g{h da figura _`[no adaptada_`]: {m{b~{f{b={n{b~{g{b=
 ={l{b~{h{b=1~2. O baricentro 
<p>
  conhecido como ponto de equilbrio do tringulo."

<R+>
<F->
_`[{figura seguida por sua legenda_`]
Legenda: Suspensa pelo baricentro, a regio triangular fica equilibrada, paralela ao plano da mesa. 

Atividades  

_`[{para as atividades 103 e 104, pea orientao ao professor_`]

103. Considere o tringulo {f{g{h _`[no adaptado_`]. Depois, copie e complete as afirmaes a seguir. 
a) Se {g{h=15 cm, ento 
  {m{h=... 
b) Se {f{n=8 mm, ento 
  {f{h=...
c) Se {l{b=4 m, ento {b{h=... e {l{h=... 
d) Se {g{n=45 cm, ento {n{b=... e {g{b=... 
<p>
104. Construa um tringulo com lados de 8 cm, 5 cm e 4 cm e localize o seu baricentro.  
<F+>
<R->
<191> 
<R+>
105. Mediatriz de um segmento de reta 
<R->
  Dado um segmento de reta de extremidades A e B, chama-se mediatriz de ^c?{a{b* a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto mdio. 

<F->
           lm
          oC
           l
           l    
       pcccpccc
       l_- l_- _
 o::::r:::r:::w::::::o
 A    l_- l_- _      B
       v---v---# 
           lM
           l
           l        
<F+>

<R+>
<F->
 m  mediatriz de ^c?{a{b*. 
 ^c?{a{m*==^c?{b{m* e :?{c{m{b*  reto. 
<F+>
<R->
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Lembre-se de que o ponto mdio divide o segmento de reta em duas partes congruentes, ou seja em duas partes de medidas iguais."

  Voc entendeu o que  mediatriz de um segmento? 
  Das trs figuras _`[no adaptadas_`], em qual delas a reta r  mediatriz de ^c?{e{f*? Justifique sua resposta. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
_`[{para as atividades de 106 a 110, pea orientao ao professor_`]

106. Traado da mediatriz de um segmento com uso de rgua e compasso
<R->
  Analise esta sequncia de figuras _`[no adaptadas_`]. Em segui-
<p>
 da, reproduza-a em seu caderno. Converse com os colegas sobre qual deve ser a abertura do compasso. 
<R+>
107. Trace mais dois segmentos de reta. Em cada um, construa a mediatriz e localize o ponto mdio. 
<R->
<192> 
<R+>
<F->
108. Em uma cidade, a prefeitura (P), o cinema (C) e a igreja (I) ficam na rua Margarida (m). O cinema est situado no ponto mdio entre a prefeitura e a igreja e est tambm na rua Orqudea (o), que  paralela  rua Violeta (v). Copie e complete o desenho a seguir, usando rgua e compasso, localizando o ponto C, correspondente ao cinema, e a reta o, que representa a rua Orqudea. 
<p>
   m          v
   _         
P o       
   _       
   _      
   _     
I o   
   _   
   _  

109. Em seu caderno, reproduza o tringulo {a{b{c e o tringulo {e{f{g a seguir. Depois, sem usar a graduao da rgua, trace a mediana ^c?{a{m* no tringulo {a{b{c e a mediana ^c?{f{n* no tringulo {e{f{g. 
110. Desenhe um tringulo qualquer e localize nele o baricentro B usando rgua (sem a graduao) e compasso. 
<F+>
<R->

Desafio

  Faa a demonstrao da seguinte proposio: Se P  um ponto da mediatriz (m) de ^c?{a{b*, 
<p>
 ento P  equidistante de A e B, ou seja, ^c?{p{a*==^c?{p{b*.

<F->
           l
           oP
           l
           l    
           l
           l
 o::::::::r::::::o
 A        lM    B        
           l
           l
           l 
           lm       
<F+>

Circuncentro de um tringulo 

  Em uma cidade, ser construdo o prdio de uma agncia bancria. Para a escolha do local, pensou-se no seguinte: ele deve ficar  mesma distncia da prefeitura (P), do frum (F) e do centro de sade (C). 
  Observe a figura _`[no adaptada_`], converse com seus colegas e 
<p>
 tentem responder: Onde deve ser construda a agncia bancria (B)? 

<193>
_`[{o professor diz_`]
  "Considerando o tringulo de vrtices P, F e C (tringulo {p{f{c), o ponto B deve ser equidistante de P, de F e de C."

_`[{o menino diz_`]
  "Ento, ele deve estar nas mediatrizes dos lados desse tringulo ^c?{p{f*, ^c?{p{c* e ^c?{f{c."

  Veja como localizar o ponto B e converse com os colegas sobre essa construo. 

_`[{o professor diz_`]
  "Se B  equidistante de P, C e F, ento a circunferncia de centro B e raio ^c?{b{p* passa por P, por C e por F."
<p>
  O ponto B, encontro das mediatrizes dos lados do tringulo {p{f{c,  conhecido como circuncentro do {p{f{c. Veja por que ele tem esse nome: o circuncentro do tringulo {p{f{c  o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo {p{f{c, ou seja, da circunferncia que passa pelos trs vrtices. 
  No exemplo _`[no adaptado_`], o circuncentro est localizado no interior da regio determinada pelo tringulo. Isso nem sempre acontece. Observe nestes exemplos _`[no adaptados_`] a localizao do circuncentro C: 

<R+>
<F->
_`[{duas figuras seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: O circuncentro fica sobre o tringulo.
Legenda 2: O circuncentro fica fora da regio determinada pelo tringulo. 
<p>
Atividades 

_`[{para as atividades de 111 a 115, pea orientao ao professor_`]

111. Com um colega, relacione a posio do circuncentro com o tipo do tringulo quanto aos ngulos. 
112. Construa um tringulo com lados de 7 cm, 6 cm e 4 cm, localize seu circuncentro C e trace a circunferncia circunscrita a esse tringulo. 
<F+>
<R->
<194> 
<R+>
113. Troque ideias com seus colegas e justifiquem a seguinte afirmao:  sempre possvel traar uma circunferncia que passa por trs pontos no alinhados. 

114. Atividade em dupla 
<R->
  Construam em uma folha sem pauta um tringulo equiltero. Nele 
<p>
 localizem o ortocentro, o incentro, o baricentro e o circuncentro usando rgua e transferidor. O que vocs podem observar em relao a esses quatro pontos em um tringulo equiltero? 

<R+>
<F->
115. Projeto em equipe: 
  trabalhando com geometria 
 Recortem de jornais e revistas trechos de plantas de um bairro ou de uma cidade e localizem neles: ngulos adjacentes e suplementares, ngulos opostos pelo vrtice, ngulos formados por paralelas cortadas por uma transversal, tringulos e quadrilteros. 
 Construam vrios tipos de ladrilhamento. 
 Faam uma pesquisa sobre demonstrao em Matemtica apresentando exemplos ainda no vistos. 
<p>
116. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? Responda em seu caderno. 

Raciocnio lgico 
<F+>
<R->
 
  Num desenho animado dois personagens desceram pela chamin. L dentro da casa, um olha para o outro que est de cara limpa. Sem dizer nada, o personagem que estava com cara limpa foi se lavar, enquanto o que estava com a cara suja nada fez. Como voc explica isso? 

Triangulao 
 
  Triangulao  um termo usado em diversas reas da atividade humana. Ele define, por exemplo, a diviso de uma superfcie terrestre numa rede de tringulos cujos vrtices so pontos bem visveis e fixos (torres de igrejas, capelas ou outros edifcios, pirmides ou 
<p> 
 marcos geodsicos, chamins, 
 etc.). Esses vrtices esto situados em lugares mais ou menos elevados, de modo que de cada um se avistem os dois outros vrtices. A partir dessa rede de tringulos, mede-se uma linha geodsica, ou efetua-se o levantamento da carta de um pas ou de uma regio. 
  No futebol a triangulao descreve o lance em que os jogadores se movimentam formando linhas supostamente triangulares. 
  No voo livre,  uma modalidade de competio em que se estipula um percurso que passa por vrios pontos de contorno. 
  A triangulao de satlites monitora o sistema GPS (sigla de Global Positioning System, sistema de posicionamento global), um receptor que indica exatamente a direo, o local e a velocidade de um veculo (barco, navio, 
<p>
 avio, carro) ou de uma pessoa (mergulhador, por exemplo). 

               ::::::::::::::::::::::::

<195>
Reviso cumulativa

<R+>
<F->
1. Examine a figura a seguir. As retas r e s so paralelas. Determine as medidas dos ngulos internos do tringulo (a, b e c). 

r::::::::e:::::::::o 
    68  ce 50
            e
             e
       b     ae
s:::j::::::::::h:::::o 

2. Os ngulos desta figura tm lados paralelos. Calcule as medidas dos ngulos x e y. 
<p>
            e
      e      e
       e      e
        e    x e
::::::::e::::::h
      97e
           e
          y e
:::::::::::::h

3. Qual  a medida de cada ngulo interno de um dodecgono regular (polgono regular de 12 lados)?  
4. Calcule as medidas de x, y e z no tringulo da figura a seguir sabendo que ^c?{e{b*  bissetriz do tringulo {e{f{g. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

5. Marta foi  loja de roupas com certa quantia e l verificou que: 
 para comprar uma saia e uma blusa faltavam R$8,00; 
<p>
 se ela comprasse s a saia, sobrariam R$12,00; 
 se ela comprasse s a blusa, sobrariam R$20,00. 
Descubra a quantia que Marta tinha, o preo de cada saia e o preo de cada blusa. 

6. Copie as expresses algbricas em seu caderno, elimine os parnteses e reduza os termos semelhantes. 
a) 3~a.2a2-a+6 
b) 3a+ba-5  
c) r2-2r+1-r2+2r+1  
d) ?3ab*~4+?ab*~10+ab 
e) m-2n+5-m+n.3 
f) a.a-b+3-b.a-b+3  
g) ?2r-s*~3.?r+s*~2
h) ?2r-s*~3-?r+s*~2
i) ?2.3r2-6r*~3r, para r=0 
j) a2-ab+aa, para a=0  
<p>
7. Os nmeros x-y e 2x so diretamente proporcionais a 6 e 15, nessa ordem. Os nmeros 4x+y e 4x-6 so inversamente proporcionais a 6 e 9, nessa ordem. Descubra o valor de x e de y. 

8. Calcule cada uma das probabilidades usando uma frao irredutvel e uma porcentagem. 
a) No lanamento de um dado, a probabilidade de sair um divisor de 15. 
b) No sorteio de uma letra da palavra ARARA, a probabilidade de sair R. 
c) Retirando uma bolinha de um saquinho que contm 3 bolas vermelhas, 5 azuis e 2 brancas, a probabilidade de sair uma vermelha. 
<F+>
<R->

<196>
<p>
<R+>
9. Na figura _`[no adaptada_`], ^c?{a{b*  bissetriz do :{a e do :{b. Prove que 
  ^c?{b{c*==^c?{b{d*. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
10. Um polgono convexo tem a soma das medidas seus ngulos internos igual a 900. Qual  o nmero de diagonais desse polgono? 
a) 9
b) 14
c) 20
d) 27

11. A velocidade de 9 km/h  equivalente a qual destas velocidades?  
a) 900 m/min 
b) 300 m/min
c) 150 m/min  
d) 100 m/min 
<p>
12. Copie as trs afirmaes verdadeiras:  
a) 16.9=16.9
b) 92=92
c) ?100-36*=100-36
d) ?644*=644

13. Se n  um nmero natural de trs algarismos, ento, para numerar da pgina 1 at a pgina n de um livro, quantos algarismos so escritos? Copie a expresso correspondente.
a) 189+3n-99 
b) 189+3n-100 
c) 190+3n-99 
d) 190+3n-100 

14. As retas r e s so paralelas. Qual  o valor de x+y?

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<p>
15. Um produto custava R$200,00, teve um aumento de 10% e em seguida uma reduo de 10%. Agora, quanto custa esse produto?
16. Clarissa recortou dois pedaos de barbante: um com 5 cm e outro com 16 cm. Para que ela 
  forme um tringulo, qual  o menor valor inteiro que deve ter o terceiro pedao, em centmetros? 

17. Se no tringulo {a{b{c o lado ^c?{a{b* mede 8 cm e o lado ^c?{a{c* mede 20 cm, indique entre os valores a seguir o que *no* pode ser a medida do lado ^c?{b{c*.
a) 13 cm
b) 26 cm 
c) 20 cm
d) 11 cm

18. De quantas formas podemos fazer um pagamento de R$120,00 
<p>
  usando apenas notas de R$50,00, R$20,00 e 
  R$10,00? Construa uma tabela com todas as possibilidades.

19. Trs scios repartiram o lucro mensal da empresa da seguinte forma:
 Jorge ficou com 40% do total. 
 Marcos ficou com 80% da quantia de Jorge. 
 Lucas ficou com R$4.200,00.
Qual foi o lucro da empresa nesse ms?

20. Em uma escola particular, 60% dos alunos so do ensino mdio e cada um deles paga R$400,00 de mensalidade. Os alunos restantes so do ensino fundamental e cada um deles paga R$300,00 por ms. Como a arrecadao mensal  de R$216.000,00, descubra o nme-
<p>
  ro de alunos no ensino mdio e no ensino fundamental dessa escola. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<197>
Para ler, pensar e divertir-se 

Ler 

Geometria demonstrativa 

  Na geometria experimental, fsica, desenvolvida at o incio do sculo VI a.C., as figuras geomtricas eram vistas da mesma maneira que consideramos objetos fsicos. Eram tomadas decises sobre propriedades e relaes entre figuras geomtricas por aparncia e por medidas aproximadas. 
  Mas as aparncias podem nos enganar. Por exemplo, na figura a seguir, qual segmento de reta  maior: ^c?{a{b* ou ^c?{c{d*? Mea e confira sua estimativa. 
<p> 
<F->        
          o C
          l
          l    
          l
          l
 o::::::o:::::o
 A      D     B    
<F+>

  Um novo modo de ver a Geometria surgiu na primeira metade do sculo VI a.C. Tales de Mileto (640 a.C.-550 a.C.) foi um dos primeiros gregos a insistir que fatos geomtricos devem ser estabelecidos por raciocnio lgico e no por observao, experimentao, tentativa e erro. Ele foi o fundador da geometria demonstrativa. Seus esforos serviram de base para o incomparvel trabalho de Euclides (300 a.C.), chamado *Os Elementos*. Tales, Euclides e outros gregos elevaram a Geometria de um nvel puramente fsico para um nvel mais lgico e abstrato. 
<p>
  *Os Elementos*, obra memorvel de Euclides,  uma cadeia dedutiva nica de 465 proposies compreendendo de maneira clara e harmoniosa geometria plana e espacial, teoria dos nmeros e lgebra geomtrica grega. (Tpicos de histria da Matemtica -- Geometria. Howard Eves. Traduo de Hygino H. Domingues. So Paulo, Atual, 1997.) 
  O trabalho de Euclides influenciou tanto o ensino de Geometria que at recentemente (100 anos atrs) ele era usado como texto didtico na Inglaterra, e os estudantes pensavam que Geometria e demonstrao eram sinnimos. 
  Os trs gemetras gregos mais importantes da Antiguidade foram Euclides (300 a.C.), Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.) e Apolnio (225 a.C.). No  exagero dizer que quase tudo o que se fez de significativo em Geo-
<p>
 metria at os dias de hoje, e ainda hoje, tem sua semente original em algum trabalho desses trs grandes eruditos. (Tpicos de histria da Matemtica -- Geometria. op. cit.) 

Pensar 

<R+>
<F->
1. a) Quantos tringulos h na figura _`[no adaptada_`]? 
b) Quantos grupos de tringulos congruentes voc observa na figura? 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
2.  lgico! Copie e complete logicamente. 
 
Nenhum quadriltero  tringulo. Todo quadrado  um quadriltero. Portanto, ... 
<p>
Divertir-se
<R->
 
  Pegue uma folha de papel sulfite e corte uma grande regio quadrada {a{b{c{d. Marque E ponto mdio de ^c?{a{b* e H ponto mdio de ^c?{a{d*. Trace os segmentos de reta ^c?{c{e*, ^c?{c{h* e ^c?{h{e*. Recorte a regio quadrada em quatro regies triangulares, como mostra a figura _`[no adaptada_`].
  Embaralhe as peas e d para um colega montar uma regio quadrada. Voc ver que no  um quebra-cabea to simples para quem no conhece a soluo. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte
